Question

如图 在四边形ABCD中 角ABC=角ADC=90度 对角线AC与BD相交于点O，M N分别是边A

如图 在四边形ABCD中 角ABC=角ADC=90度 对角线AC与BD相交于点O，M N分别是边AC BD的中点

Answer 1

（1）证明：连接BM、DM

∵∠ABC=∠ADC=90°，点M、点N分别是边AC、想BD的中点

∴BM＝DM＝1/2AC

∵N是BD的中点

∴MN是BD的垂直平分线

∴MN⊥BD

（2）解：∵∠BCA=15°，BM＝CM＝1/2AC

∴∠BCA=∠CBM=15°

∴∠BMA=30°

∵OB=OM

∴∠OBM=∠BMA=30°

∵AC=10，BM＝1/2AC

∴BM=5

在Rt△BMN中，∠BNM=90°，∠NBM=30°

∴MN＝1/2BM=2.5

凹四边形

凹四边形四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边有些在其异侧。

依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。中点四边形的形状取决于原四边形的对角线。若原四边形的对角线垂直，则中点四边形为矩形；若原四边形的对角线相等，则中点四边形为菱形；若原四边形的对角线既垂直又相等，则中点四边形为正方形。

Answer 2

（1）证明：连接BM、DM．
∵∠ABC=∠ADC=90°，点M、点N分别是边AC、想BD的中点，
∴BM＝DM＝1/2AC
∵N是BD的中点，
∴MN是BD的垂直平分线，
∴MN⊥BD．

（2）解：∵∠BCA=15°，BM＝CM＝1/2AC

∴∠BCA=∠CBM=15°，
∴∠BMA=30°，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠BMA=30°，
∵AC=10，BM＝1/2AC
∴BM=5，
在Rt△BMN中，∠BNM=90°，∠NBM=30°，
∴MN＝1/2BM=2.5

答：MN的长是2.5．

Answer 3

提示：
⑴连结MB、MD，
∠ABC＝∠ADC=90º ，M、 N分别是边AC 、BD的中点，
则MB＝MD＝1/2AC，
又 N是BD的中点，
∴MN⊥BD﹙三线合一定理﹚；
⑵当∠BCA＝15º时，
∠BMO＝30º，
又OB＝OM，
∴∠MBO＝30º，
又MN⊥BD，
∴⊿BMN为直角三角形，
∴MN＝1/2MB＝1/4AC＝5/2﹙㎝﹚。