Question

微分方程的通解

Answer 1

解微分方程y'-3xy=2x
解：这是一个典型的一阶线性微分方程。其基本解法(程式化解法)如下：
先求一阶线性齐次方程y'-3xy=0的通解：
dy/dx=3xy；分离变量得dy/y=3xdx；积分之，得lny=(3/2)x²+lnc₁；即得y=c₁e^[(3/2)x²；
将c₁换成x的函数u，即y=ue^[(3/2)x²].............(1)
将(1)的两边对x取导数得：dy/dx=y'=(du/dx)e^[(3/2)x²]+3xue^[(3/2)x²]........(2)
将(1)和(2)代入原方程得：
(du/dx)e^[(3/2)x²]+3xue^[(3/2)x²]-3xue^[(3/2)x²]=2x
故得(du/dx)e^[(3/2)x²]=2x；分离变量得du=2xe^[-(3/2)x²]dx；
积分之得u=∫2xe^[-(3/2)x²]dx=(-2/3)∫de^[-(3/2)x²]=-(2/3)e^[-(3/2)x²]+c
代入(1)式即得通解y={-(2/3)e^[-(3/2)x²]+c}e^[(3/2)x²]=-2/3+ce^[(3/2)x²]
【此解法谓之“参数变异法”或“常数变异法”】

Answer 2

一阶微分方程
　　如果式子可以导成y'+P(x)y=Q(x)的形式,利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解
　　若式子可变形为y'=f(y/x)的形式,设y/x=u
利用公式du/(f(u)-u)=dx/x求解
　　若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式,用分离系数法,两边积分求解
　　二阶微分方程
　　y''+py'+q=0
可以将其化为r^2+pr+q=0
算出两根为r1,r2.
　　1
若实根r1不等于r2
　　y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).
　　2
若实根r1=r2
　　y=(c1+c2x)*e^(r1x)
　　3
若有一对共轭复根
r1=α+βi
r2=α-βi
y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]

Answer 3