Question

a，b，c大于0.求证:(a+b+c)/3≥三次根号下abc。要过程，谢谢

Answer 1

解：
证明一:
令a=x^3,b=y^3,c=z^3.
因为
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
=(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)62+(z-x)^2]/2>=0,
所以
x^3+y^3+z^3>=3xyz,
即
(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3).
证明二:先证两个数的情形;
(a+b)/2>=√(ab).
(1)
(1)(√a-√b)^2>=0(显然成立)
再证四个数的情形;
(a+b+c+d)/4>=(abcd)^(1/4)
(2)
反复应用(1)得
(a+b+c+d)/4=[(a+b)/2+(c+d)/2]/2
>=(√(ab)+√(cd))/2>=√[√(ab)√(cd)]
=(abcd)^(1/4).
最后证三个数的情形;
(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3).
在(2)中取d=(a+b+c)/3,得
(a+b+c+(a+b+c)/3)/4>=(abc(a+b+c)/3d)^(1/4)
,
即(a+b+c)/3>=(abc(a+b+c)/3d)^(1/4),
两边陪伍铅芦好4次方,并约去(a+b+c)/3得
[(a+b+c)/3]^3>=abc,
两边开立方,得橘察
(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)
不懂请追问，祝愉快O(∩_∩)O~

Answer 2

已知：a、b、c均为正数，求证：
2{[(a+b)/2]-√(ab)}≤3{[(a+b+c)/3]-³√(abc)}
证明：化简上述要证的不等式：
(a+b)-2√(ab)≤(a+b+c)-3³√(abc)
3³√(abc)≤2√(ab)+c
我们已经学过：若a、b、c均为正数，则有a+b+c≥³√(abc)，
那么，数似的悄仔有2√(ab)+c=√(ab)+√薯拆(ab)+c
≥³√[√(ab)×√(ab)×c]=³√(abc)，
即2√(ab)+c≥³√(abc)成立，
逆推回去，得证！
已知n＞0,求证:3n+(4/n²)≥3³√9.
证明：3n+(4/n²)=(3n/2)+(3n/2)+(4/n²)
≥3³√[(3n/2)×(3n/2)×(4/n²)]=3³√9.
上述2题，关键在于一个“拆”字：将多项式拆成证题所需的多项式！启手汪