Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=-2/3与x=1时取得极值。若函数f(x)的图像与x轴有3个交点，求c的取值范围。

Answer 1

1.求导,x=-2/3与x=1分别为导函数的两根,
则a=-1/2, b=-2.
2.x=-2/3为极大值,x=1是极小值,大致画出函数趋势,若与x轴有3个交点,则x=-2/3时函数>0,x=1时函数<0,解不等式即可.
得-22/27< C< 3/2

Answer 2

f'(x)=3x^2+2ax+b
f'(-2/3)=0
f(1)=0
4/3-4a/3+b=0
3+2a+b=0
a=-0.5
b=-2
设三个交点为(x1,0),(x2,0),(x3,0)
则f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)
=x^3-(x1+x2+x3)x^2+(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3
x1+x2+x3=0.5
x1x2+x2x3+x1x3=-2
x1^2+x2^2+x3^2=(x1+x2+x3)^2-2(x1x2+x2x3+x1x3)
=4.25
4.25=x1^2+x2^2+x3^2>=3(x1x2x3)^(2/3)
(x1x2x3)^2<=(17/12)^3=4913/1728
c=-x1x2x3
-1.6862<=c<=1.6862