Question

多项式F(X)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n,证明：F(X)=0...

多项式F(X)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n,证明：F(X)=0有n+1个不同根,则F(X)恒等于0

Answer 1

F(X)=0有n+1个不同根
设为x0,x1,x2,……,xn
所以有F(x0)=0,F(x1)=0,……,F(xn)=0
即
a0+a1(x0)+a2(x0)^2+...+an(x0)^n=0
a0+a1(x1)+a2(x1)^2+...+an(x1)^n=0
………………………………
a0+a1(xn)+a2(xn)^2+...+an(xn)^n=0
这是一个n+1个方程n+1个未知数的线性方程组
未知数为a0,a1,a2,……,an
系数行列式刚好是范德蒙德行列式D（x0,x1,x2,……,xn）
因根都不同
所以
范德蒙德行列式不为零
由克莱默法则
可知
系数行列式非零
则
方程组仅有零解
所以
a0,a1,a2,……,an都为零
所以F(X)恒等于0