设复数z满足|z|=1,试求|z^3-3z-2|的最值.
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解:
|z^3-3z-2|=|z+1|^2*|z-2|.
∵|z|=1,
∴|z+1|^2=2+Re(z),
|z-2|^2=5-4Re(z).
令z=x+yi,(x、y∈R),则x∈[-1,1],
故|z^3-3z-2|=(2+2x)(5-4x)^(1/2)
≤[((2x+2)+(2x+2)+(5-4x))/3]^(3/2)
=3根3.
当且仅当2x+2=5-4x,即x=1/2时等号成立.
此时y=±(根3)/2.
故z=[1±(根3)i]/2时,达到最大值:3根3.
当z=-1时,达到最小值0.
|z^3-3z-2|=|z+1|^2*|z-2|.
∵|z|=1,
∴|z+1|^2=2+Re(z),
|z-2|^2=5-4Re(z).
令z=x+yi,(x、y∈R),则x∈[-1,1],
故|z^3-3z-2|=(2+2x)(5-4x)^(1/2)
≤[((2x+2)+(2x+2)+(5-4x))/3]^(3/2)
=3根3.
当且仅当2x+2=5-4x,即x=1/2时等号成立.
此时y=±(根3)/2.
故z=[1±(根3)i]/2时,达到最大值:3根3.
当z=-1时,达到最小值0.
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