Question

已知：函数f(x)=ax+b/x+c(a.b.c是常数)是奇函数，且满足f(1)=5/2，f(2)=17/4

（1）求a.b.c的值
（2）试判断函数f(x)在区间（0，1/2）上的单调性并说明理由

Answer 1

因为函数f(x)=ax+b/x+c是奇函数
所以f(0)=c=0
f(1)=a+b=5/2
f(2)=2a+b/2=17/4
得：a=2,b=1/2

f(x)=2x+1/2x
设x1,x2属于(0,1/2)，x1>x2
f(x1)-f(x2)=2x1+1/2x1-2x2-1/2x2
=2(x1-x2)+(x2-x1)/2x1x2
=(x1-x2)*(4x1x2-1)/2x1x2
x1-x2>0,4x1x2-1<0
所以(x1-x2)*(4x1x2-1)/2x1x2《0
所以f(x1)-f(x2)<0
又，x1>x2
所以：f(x)在区间(0,1/2)上是减函数

Answer 2

因为函数f(x)=ax+b/x+c是奇函数
所以f(0)=c=0
f(1)=a+b=5/2
f(2)=2a+b/2=17/4
得：a=2,b=1/2
f(x)=2x+1/2x
设x1,x2属于(0,1/2)，x1>x2
f(x1)-f(x2)=2x1+1/2x1-2x2-1/2x2
=2(x1-x2)+(x2-x1)/2x1x2
=(x1-x2)*(4x1x2-1)/2x1x2
x1-x2>0,4x1x2-1<0
所以(x1-x2)*(4x1x2-1)/2x1x2《0
所以f(x1)-f(x2)<0
又，x1>x2
所以：f(x)在区间(0,1/2)上是减函数

Answer 3

因为函数f(x)=ax+b/x+c是奇函数
所以f(0)=c=0
f(1)=a+b=5/2
f(2)=2a+b/2=17/4
得：a=2,b=1/2
f(x)=2x+1/2x
设x1,x2属于(0,1/2)，x1>x2
f(x1)-f(x2)=2x1+1/2x1-2x2-1/2x2
=2(x1-x2)+(x2-x1)/2x1x2
=(x1-x2)*(4x1x2-1)/2x1x2
x1-x2>0,4x1x2-1<0
所以(x1-x2)*(4x1x2-1)/2x1x2《0
所以f(x1)-f(x2)<0
又，x1>x2
所以：f(x)在区间(0,1/2)上是减函数

Answer 4

（1）函数f(x)=ax+b/x+c(a.b.c是常数)是奇函数
∴f(-x)=-f(x)
故-ax-b/x+c=-ax-b/x-c
∴c=0
于是由f(1)=5/2，f(2)=17/4得
a+b=5/2
（1）
2a+b/2=17/4
（2）
解此方程组得a=2，b=1/2
故a=2，b=1/2，c=0
（2）此函数为f(x)=2x+1/（2x）

Answer 5

1.由函数f(x)=ax+b/x+c(a.b.c是常数)是奇函数得c=0，f(1)=5/2，f(2)=17/4带入a+b=5/2，2a+b/2=17/4，得，a=2，b=1/2
2.f(x)=2x+1/（2x）他的导数为2-1/（2x的平方）令其为0.的x=正负1/2，在（0，1/2）导数大于0.则为增函数