Question

一道极限题目？

请问第①步到第三步②步为什么不对呢？

Answer 1

x->0

tanx = x +o(x)

ln[ 1+ (2/3)tanx ]=(2/3)x +o(x)

x.ln[ 1+ (2/3)tanx ] =(2/3)x^2 +o(x^2)

e^【x.ln[1+(2/3)tanx] 】=e^[ (2/3)x^2 +o(x^2)] = 1+ (2/3)x^2 +o(x^2)

e^【x.ln[1+(2/3)tanx] 】 -1 =(2/3)x^2 +o(x^2)

[1+(2/3)tanx]^x -1 =e^【x.ln[1+(2/3)tanx] 】-1 =(2/3)x^2 +o(x^2)

lim(x->0) [ (3+2tanx)^x  -3^x ] / [ 3(sinx)^2 + x^3. cos(1/x) ]

=lim(x->0) 3^x. {  [1+(2/3)tanx]^x  -1 } / [ 3(sinx)^2 + x^3. cos(1/x) ]

=lim(x->0)  {  [1+(2/3)tanx]^x  -1 } / [ 3(sinx)^2 + x^3. cos(1/x) ]

=lim(x->0)  (2/3)x^2/ [ 3(sinx)^2 + x^3. cos(1/x) ]

分子分母同时除以x^2

=lim(x->0)  (2/3)/ [ 3(sinx/x)^2 + x. cos(1/x) ]

=(2/3)/ (3+0)

=2/9

Answer 2

不能拿分子中的一部分加数先用等价无穷小替换，如果是因式就可以，是加数就不行，这是求极限常见的错误，一定要搞清楚。这题最好用洛必达去求。