Question

高数中求极限的问题

为什么x+arcsinx可以直接换成x+x？不是说等价代换加减不能这样用吗？

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Answer 1

等价无穷小来自泰勒公式，那是泰勒公式就没有问题了！
其实，最重要的是看分子分母的阶数
分母的阶数是x^4, 分子只要展开到x^4 就可以了
x->0
arcsinx = x+(1/6)x^3 +o(x^3)
x+arcsinx = 2x+o(x)
x-arcsinx = -(1/6)x^3 +o(x^3)
(x+arcsinx)(x-arcsinx)
=[2x+o(x)].[-(1/6)x^3 +o(x^3)]
=-(1/3)x^4 +o(x^4)
or
arcsinx = x+(1/6)x^3 +o(x^3)
[arcsinx]^2
=[ x+(1/6)x^3 +o(x^3)]^2
=x^2 +(1/3)x^4+o(x^4)
x^2-[arcsinx]^2=-(1/3)x^4+o(x^4)
//
lim(x->0) [x^2-(arcsinx)^2]/[(1/3)x^4]
lim(x->0) (x+arcsinx)(x-arcsinx)/[(1/3)x^4]
=lim(x->0) (-1/3)x^4/[(1/3)x^4]
=-1

追问

想问一下，就是楼上的那个大哥说的是对的吗，a/b不等于-1就可以加减代换了吗？

追答

我不明白他说的是什么意思，我只根据泰勒公式的展开来说，那一定没错！

追问

好的谢谢大佬

Answer 2

在A+B运算中，只要A/B的极限不等于-1，是可以使用等价替换的。
同理A-B欲使用等价代换则要求A/B的极限不等于1。