Question

∫∫∫e^z/√(x^2+y^2)dxdy,其中Σ是z=√(x^2+y^2）在1<=z<=2的那一部分下侧.

Ω: z=1,z=2, z=√(x^2+y^2)围成的闭区域，用截面法求时候
I = ∫∫∫ e^z / √(x^2+y^2) dxdydz
= ∫ e^z dz ∫∫ 1/√(x^2+y^2) dxdy
= ∫ 2π z e^z dz
= 2π [ (z-1)e^z |(z=2) - (z-1)e^z |(z=1) ]
= 2π e^2

其中第三行的“2πz”是怎么求出来的啊？
正解怎么解？
第三行为什么不是πz。
为什么第二行1/√(x^2+y^2)不能直接替换成1/z再拿到前面去？

Answer 1

换元法
x=rcosa x^2+y^2≤1 所以0<=r<=1 0<=a<=2π
y=rcosa
∫ ∫D e^(x^2+y^2) dxdy
∫[0,2π] ∫[0,1] e^(r^2) rdrda
=2π*1/2∫[0,1] e^(r^2) d(r^2)
=π*e^(r^2) [0,1]
= π(e-1)

追问

你看不到这两题都是我问的么？

Answer 2

水军太多，我也遇到同样的难题了，答案是2πe^2