Question

级数∞n＝1nxn?1的和函数为______

级数∞n＝1nxn?1的和函数为______．

Answer 1

由
lim
n→∞
|5261
(n+1)xn
nxn?1
|=|x|＜1可得，4102
级数的收敛半径为1．1653
利用幂级数的求导公式可得，
∞
n＝1
nxn?1=
∞
n＝1
(xn)′回=(
∞
n＝1
xn)′=(
x
1?x
)′=(
1
1?x
?1)′=
1
(1?x)2
，-1＜x＜1．
故答案为：答
1
(1?x)2
（-1＜x＜1）．

Answer 2

因为an＝
n2+1
n
，而
lim
n→∞
an+1
an
＝x，且x=±1时，抄级数均发散，所以袭级数的以收敛2113域为（-1，1）5261，
求解和函数：4102
∞
n＝1
n2+1
n
xn＝
∞
n＝1
nxn+
∞
n＝1
1
n
xn＝x(
∫
x
0
∞
n＝1
nxn?1dx)′1653+
∫
x
0
(
∞
n＝1
1
n
xn)′dx
=x(
1
1?x
)′+
∫
x
0
1
1?x
dx=
x
(1?x)2
?ln(1?x)，x∈（-1，1）
再看看别人怎么说的。

Answer 3

因为an＝
n2+1
n
，而
lim
n→∞
an+1
an
＝x，且x=±1时，级数均发散，所以级数的以收敛域为（-1，1），

求解和函数：
∞
n＝1
n2+1
n
xn＝
∞
n＝1
nxn+
∞
n＝1
1
n
xn＝x(
∫
x
0
∞
n＝1
nxn?1dx)′+
∫
x
0
(
∞
n＝1
1
n
xn)′dx
=x(
1
1?x
)′+
∫
x
0
1
1?x
dx=
x
(1?x)2
?ln(1?x)，x∈（-1，1）
再看看别人怎么说的。