Question

已知a,b,c为三角形的三边,求证：方程b²x²+（b
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已知a,b,c为三角形的三边,求证：方程b²x²+（b²+c²-a²）x+c²=0没有实数根.

Answer 1

证明：判别式
(b^2+c^2--a^2)^2--4b^2c^2
=(b^2+c^2--a^2+2bc)(b^2+c^2--a^2--2bc)
=[(b+c)^2--a^2][(b--c)^2--a^2]
=(b+c+a)(b+c--a)(b--c+a)(b--c--a)
因为
a,b,c
是三角形的三边,
所以
由三角形三边的关系（三角形任意两边的和大于第三边）可知：
b+c+a大于0,
b+c--a大于0,
b--c+a大于0,
b--c--a小于0,
所以
(b+c+a)(b+c--a)(b--c+a)(b-c--a)小于0,
即：判别式小于0,
所以
方程
b^2x^2+(b^2+c^2--a^2)x+c^2=0没有实数根.