Question

已知椭圆C的离心率为√2/2，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2

Answer 1

作业君找到的参考例题: 【问题】:已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a大于b大于0)的离心率为根号2/2,其左 右焦点分别为F1F2 P是椭圆上一点。向量PF1×向量PF2=3/4，OP的绝对值=根号7/2 1、求椭圆C的方程 2、过点S(0,-1/3)的动直线l交与椭圆C与A，B两点，试问：在y轴上是否存在一个定点M，使得以AB为直径的圆恒过点M？若存在，求出M的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】: ⑴∵e=c/a=√2/2， ∴c²=b²=a²/2， 椭圆方程变为：x²+2y²=a²(a>b>0)， 设P(x，y)，则→F1P=(x+c，y)，→F2P=(x-c，y)，由题意得： x²+y²=(√7/2)²=7/4， (x+c)(x-c)+y²=x²+y²-c²=3/4， 解得c=1，故a²=2，b²=1， ∴椭圆方程为：x²/2+y²=1； --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ⑵当直线l与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为x²+(y+1/3)²=(4/3)²， 当直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为x²+y²=1， ∴两圆的切点为点(0，1)， 猜想所求的点M为点(0，1)，证明如下： ①当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点(0，1)； ②当直线l与x轴不垂直时，可设直线l：y=kx−1/3， 连立椭圆方程x²/2+y²=1，得： (18k²+9)x²-12kx-16=0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： x1+x2=12k/(18k²+9)，x1x2=−16/(18k²+9)， →MA=(x1，y1-1)，→MB=(x2，y2-1)， ∴→MA•→MB=x1x2+y1y2-y1-y2+1 =(1+k²)x1x2−4/3k×(x1+x2)+16/9 =(-16-16k²)/(18k²+9)-(16k²)/(18k²+9)+16/9 =-(32k²+16)/(18k²+9)+16/9 =0 ∴MA⊥MB，即以AB为直径的圆过点(0，1)． 综上所述，存在一个定点M(0，1)，使得以AB为直径的圆恒过定点M． 【解决这类问题时，可以先假设存在这个定点，再通过特殊位置求出这个定点的坐标，最后求证这个定点符合题意．】 //-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【明教】为您解答， 如若满意,请点击【采纳为满意回答】;如若您有不满意之处,请指出,我一定改正! 希望还您一个正确答复! 祝您学业进步!