Question

高数中的介值定理的以及推论的疑问？

课本的介值定理和推论的中值ξ取得都是开区间，而有的老师说的是闭区间，所以我有点混乱了，现在我自己想了一下，是不是这样子才对？其中A,B代表两个端点值，m，M代表最小值最大值；
介值定理：函数在闭区间【a，b】连续，端点分别取得A,B，那么对于开区间（A，B）内的任何一个值，在开区间（a，b）内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值（这个应该是课本的意思）；
如果：对于闭区间【A，B】内的任何一个值，在闭区间【a，b】内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值（这个是我根据老师讲的推测的，不知道对不对，因为老师总是讲介值定理的中值是闭区间内，我想应该要加上闭区间【A，B】这个条件，如果是开区间（a，b），那么中值也是在开区间内）

对于介值定理的推论（最大值最小值）的问题，与上述类似，如果最大值最小值取得是开区间，那么中值去开区间，如果最大值最小值取得是闭区间，那么中值也取闭区间，
请明白我的意思的人帮忙。谢谢

Answer 1

我可以告诉你为什么书本上是说（A，B）内的任何一个值，在开区间（a，b）内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值。
而不是说对于闭区间【A，B】内的任何一个值，在闭区间【a，b】内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值。

因为A、B这两个端点值没有讨论的意义。

首先根据题意，x=a时，f（a）=A，x=b时，f（b）=B。这是两个已经确定了的点。而在（a，b）这个开区间内，不一定还有其他的x能使得f（x）=A或=B。

所以书本上是说（A，B）内的任何一个值，在开区间（a，b）内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值。就是表明我们对于还没确定函数值的（a，b）内的x，可以估计一个函数值的可能性。

但是按照你们老师说的对于闭区间【A，B】内的任何一个值，在闭区间【a，b】内至少存在一个ζ使得函数取得这个函数值。方式，就模糊了A、B这两个函数值是在两个端点这两个确定的点上取到的情况。将A、B和AB之间的值都混同到一起，只知道是【a，b】内取值，而不知道是哪一点取值了。这是将原本清晰的f（a）=A和f（b）=B模糊化为【a，b】内至少存在一个ζ使得函数等于A或等于B。这种将原本清晰的问题模糊化的做法，是不应该的。所以书本才是开区间。

追问

如果是指的是最大值最小值问题，对于【m，M】之间内的任何一个值，是不是在都存在一个ζ在闭区间【a，b】内使得函数取到函数值；当对于取值在（m，M）内的时候，是不是中值也是开区间（a，b）啊？我想知道其正确性，因为很多题中值的范围总是变化。谢谢

追答

还是前面说的，你的闭区间和开区间的说法都是正确的。你们都是正确的说法中，应该选用更准确的，也就是开区间的说法。

就好比解方程，x-2=0，问有几个解。如果说至少1个解，这个解在[1，3]区间内。这句话对不对？对，当然对。不过这样的回答不准确啊。完全可以准确的回答x=2这一个解就行了。

现在你的闭区间也是一样，说是否正确，当然正确，就和x-2=0，这个方程至少1个解，这个解在[1，3]区间内。一样正确。同时也不准确，就和就和x-2=0，这个方程至少1个解，这个解在[1，3]区间内。一样不准确。因为把原本很清晰的最大值，最小值的取值点模糊化了。就像x-2=0，这个方程至少1个解，这个解在[1，3]区间内。一样将方程的解的个数，解的值模糊化了一样。

Answer 2

你用的一直都是A,B，没有用到m，M啊

如果x在[a,b]内，f(x)有值域[m,M],那么，对于任意Y∈[m,M]，必然存在ζ∈[a,b],使f(ζ)=Y
如果x在[a,b]内，f(x)有值域(m,M),那么，对于任意Y∈(m,M)，必然存在ζ∈[a,b],使f(ζ)=Y
如果x在(a,b)内，f(x)有值域[m,M],那么，对于任意Y∈[m,M]，必然存在ζ∈(a,b),使f(ζ)=Y
如果x在(a,b)内，f(x)有值域(m,M),那么，对于任意Y∈(m,M)，必然存在ζ∈(a,b),使f(ζ)=Y

以上四个都是对的，而且都是介值定理。

追问

介值定理要求的都是在闭区间内连续啊，你为什么后两个都是开区间呢？如果你的函数在开区间内连续，你有可能无界和无最大值或者最小值啊。