Question

已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为√2，则该三棱锥的外接球的表面积为？

Answer 1

设空间存在正方体MNPQ-M1N1P1Q1,将N换为A，Q换位B,M1换为C，P1换为D，连接ABCD，可知正方体边长=1，因为正方体外接球即为三棱锥外接球，可知R=√3/2,由S=4πR²，即可求。

Answer 2

设三棱锥a-bcd的所有棱长都是a,作ae⊥平面bcd于e,连,be,
易知e是正三角形bcd的中心，be=a/√3，
∴ae=√(ab^2-be^2)=√6a/3,
∴三棱锥a-bcd的外接球半径r=(3/4)ae=√6a/4,
∴三棱锥a-bcd的外接球面积s=4πr^2=4π*3a^2/8=(3/2)πa^2,
a=√2时s=3π.