Question

设A,B,C是三个相互独立的随机事件,且0<P(C)<1.问AC的逆与C的逆是否相互独立，要具体思路

Answer 1

若要证明AC的逆与C的逆相互独立，则根据相互独立事件的性质，只需证明AC与C是相互独立的就可以了，亦即只需要证明
P(AC∩C) = P(AC)P(C)即可
于是
P(AC∩C) = P(AC) = P(A)P(C)
P(AC)P(C)=P(A)P(C)P(C)
当P(A)=0时，P(AC∩C) = P(AC)P(C) = 0，此时，AC和C是相互独立的；
当P(A)≠0时，由0<P(C)<1可知，P(C)P(C)<P(C)，从而 P(A)P(C)P(C)≠P(A)P(C)，亦即P(AC∩C)≠P(AC)P(C)。所以此时AC和C不是相互独立的，从而AC的逆与C的逆自然也就不是相互独立的了。
这个问题虽然已经过去10年了，但我还是要回答一下，希望能采纳这个答案，让更多人看到。现在很多考研辅导课程在讲这道题的时候，答案仍然是“AC的逆与C的逆不是相互独立”，其实这是不严谨的，因为很多老师都忽略了P(A)有可能等于0的情况，而且他们的依据是“相互独立的事件组任意不重复的事件进行集合运算后，新的集合与独立事件组的事件仍然是相互独立的”，这个定理本身没有问题，但并不代表包含重复事件的情况下就一定是不独立的。

Answer 2

你确定题目对？
如果对的话；
P((AC)'C')=P((A'||C')C')=P(A'C'||C')=P(A'C')+P(C')-P(A'C'C')

所以P((AC)'C')=P(C')

又因为P(C')>=P((AC'))P(C')

因为P((AC)')=1-P(AC)
当P(A)=0时 事件独立
当P(A)！=0时 事件不独立

咳。。咳。。仅供参考