Question

怎么证明这个函数是奇函数

Answer 1

f(x)=ln[x+√(1+x²)]，f(-x)=ln[-x+√(1+(-x)²)]=ln[-x+√(1+x²)]
那么f(x)+f(-x)=ln[x+√(1+x²)]+ln[-x+√(1+x²)]
=ln{[x+√(1+x²)][-x+√(1+x²)]}
=ln[(1+x²)-x²]
=ln1
=0
所以f(-x)=-f(x)
而f(x)的定义域为R，关于原点对称
所以此函数是奇函数

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Answer 2

解y=f（x）=ln（√（1+x^2）+x）
知x属于R，即函数的定义域关于原点对称
而
f（-x）=ln√[（-x）^2+1]+(-x）
=ln√（（-x）^2+1）-x
=ln[√（x^2+1）-x]*1
=ln[√（x^2+1）-x]*[√（x^2+1）+x]/[√（x^2+1）+x]
=ln[（√x^2+1）^2-x^2]/[√（（x^2+1）+x]
=ln1/[√（x^2+1）+x]
=ln[√（x^2+1）+x]^(-1)
=-ln[√（x^2+1）+x]
=-f（x）
即f（-x）=-f（x）

故f（x）是奇函数