Question

计算三重积分∫∫∫Ω(x+z)dv 其中Ω由曲面z=√(x2+y2)与z=√(1-x2-y2)所围成的区域，请用球坐标求积分

我会用柱坐标求，但是我不会用球坐标做这道题

Answer 1

利用对称性：∫∫∫Ω(x+z)dv = ∫∫∫Ω(z)dv
换成球坐标：z = r cosφ, x = r sinφ cos θ, y = r sinφ sin θ
r from 0 to 1; φ from 0 to pi/4; θ from 0 to 2pi
∫∫∫Ω(z)dv = ∫[0,2pi] d θ ∫[0, pi/4] dφ ∫[0,1] rcosφ r^2sinφ dr
= (pi/4) ∫[0, pi/4] sin φ cos φ dφ
= (pi/4)(1/2)sin^2φ from 0 to pi/4
= pi/16

追问

φ为什么是0到4/π

追答

φ是与z轴的夹角。从零度开始，到pi/4，因为在锥面上，取x = 0, 则 z = y。tanφ = y/z = 1, 所以 φ = pi/4.