Question

无界不一定无穷大。这是为什么？

Answer 1

无界是指没有界限，但是并没有一个趋势

无穷大是有确定趋势的

你也可以从定义上把它们区分开
例如：
自然数列1，2，......，n，......在n增大的过程中稳定地趋于正无穷，它的通项是无穷大。
数列1，0，2，0，......，n，0，......在n增大的过程中肯定是无界的，但不是无穷大，因为无穷大要求从某一项开始后面的所有项都要大于某个大正数M，这个数列办不到这点。
无穷大一定无界，无界不见得是无穷大。
补充说明：上面的例子不是特例，一般来说无界而又不是无穷大的变量都是由于它们时大时小，不能稳定地趋于无穷。

Answer 2

无界函数可能有子列，子列有极限，那么它就不是无穷大(利用函数极限与数列极限的关系)。
比如f(x)=xcosx在(-∞,+∞)内无界，但不是x→+∞时的无穷大。
存在数列Xn=2nπ，f(Xn)=2nπ→+∞(n→∞)，所以{f(Xn)}无界，从而函数f(x)在(-∞,+∞)内无界。
存在数列Yn=2nπ+π/2，f(Yn)=0，所以函数f(x)不是x→+∞时的无穷大。