Question

想了解一下三角形外接圆半径和内切圆半径与三角形周长或者面积有什么关系？

（普通三角形）：

（直角三角形）：

Answer 1

三角形的面积=内切圆半径×三角形的周长×1/2

外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。若是直角三角形，则圆心在斜边的中点，即斜边是圆的直径

追问

三角形的面积=内切圆半径×三角形的周长×1/2

这是怎么推出来的？？

追答

连接3个顶点和圆心
三角形面积=3个小三角形面积之和，
小三角形的高即为半径 底边分别为三角形三边
设三边分别为a b c 半径为r 则
（a+b+c）r x 1/2=s三角形

追问

直角三角形外接圆

设半径为r，两条直角边为a，b。斜边为c

那么r=（a+b-c）÷2

这个公式是怎么推出来的

追答

这个公式是内接圆半径公式

设Rt△ABC中，∠C＝90度，BC＝a，AC＝b，AB＝c
结论是：内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
证明方法一般有两种：
方法一：
如图设内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F，连接OD、OE
显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OD＝OE
所以四边形CDOE是正方形
所以CD＝CE＝r
所以AD＝b－r，BE＝a－r，
因为AD＝AF，CE＝CF
所以AF＝b－r，CF＝a－r
因为AF＋CF＝AB＝r
所以b－r＋a－r＝r
内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
方法二：
如图设内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F，连接OD、OE、OF，OA、OB、OC
显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB
所以S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB
所以ab/2＝br/2＋ar/2＋cr/2
所以r＝ab/(a＋b＋c)
＝ab(a＋b－c)/(a＋b＋c)(a＋b－c)
＝ab(a＋b－c)/[(a＋b)^2－c^2]
因为a^2＋b^2＝c^2
所以内切圆半径r＝(a＋b－c)/2

直角三角形外接圆半径是斜边的一半 即为c/2
因为外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点