Question

求解第三小题

Answer 1

令P(x,y)=ye^x*f(x)-y/x，Q(x)=-lnf(x)

∂Q/∂x=-f'(x)/f(x)，∂P/∂y=e^x*f(x)-1/x

因为根据题意，∫(C) (Pdx+Qdy)=0
则根据格林公式
∫∫(D) (∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy=0，其中D是平面区域x>1内任一封闭曲线围成的区域

∫∫(D) [-f'(x)/f(x)-e^x*f(x)+1/x]dxdy=0
-f'(x)/f(x)-e^x*f(x)+1/x=0
-f'(x)/f(x)^2-e^x+1/xf(x)=0

令z=1/f(x)，则dz/dx=-f'(x)/f(x)^2
dz/dx-e^x+z/x=0
dz/dx+z/x=e^x

z=e^(-∫dx/x)*[∫e^x*e^(∫dx/x)dx+C]
=(1/x)*(xe^x-e^x+C)
f(x)=1/z=x/(xe^x-e^x+C)
因为f(1)=1/2，所以C=2
所以f(x)=x/(xe^x-e^x+2)

追问

对z求积分的那部分能写的稍微清楚一点吗，有点不会解，谢谢🙏

追答

dz/dx+z/x=e^x
这是一阶非齐次线性微分方程，根据通解公式，有：
z=e^(-∫dx/x)*[∫e^x*e^(∫dx/x)dx+C]
=e^(-lnx)*(∫e^x*e^lnxdx+C)
=(1/x)*(∫e^x*xdx+C)
=(1/x)*[∫xd(e^x)+C]
=(1/x)*(xe^x-∫e^xdx+C)
=(1/x)*(xe^x-e^x+C)

追问

嗷嗷回想起来了，感谢

追答

不客气