高数微分方程问题! 求微分方程x^2y'+xy=y^2的通解
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解 把所给方程变形为
dy/dx+y/x=y²/x² ①
令y/x=u 则y=ux
dy/dx=u+x*du/dx 代入①式得
u+x*du/dx+u=u²
分离变量 du/(u²-2u)=dx/x
两边积分 1/2 * ln|(u-2)/u| =ln|x|+lnC1
ln|(y-2x)/y|=ln|x²|+lnC1²
(y-2x)/y=Cx² (C=C1²)
化简得 y=2x/(1-Cx²)
即所求微分方程通解为：y=2x/(1-Cx²)
可以将其代入到原方程,发现方程两边相等
于是所求通解符合题意
dy/dx+y/x=y²/x² ①
令y/x=u 则y=ux
dy/dx=u+x*du/dx 代入①式得
u+x*du/dx+u=u²
分离变量 du/(u²-2u)=dx/x
两边积分 1/2 * ln|(u-2)/u| =ln|x|+lnC1
ln|(y-2x)/y|=ln|x²|+lnC1²
(y-2x)/y=Cx² (C=C1²)
化简得 y=2x/(1-Cx²)
即所求微分方程通解为：y=2x/(1-Cx²)
可以将其代入到原方程,发现方程两边相等
于是所求通解符合题意
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