Question

如图：AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD=DC；（2）

如图：AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD=DC；（2）求证：DE是⊙O1的切线；（3）如果OE=EC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）连接OD，
∵AO为圆O₁的直径，
则∠ADO=90°．
∵AC为⊙O的弦，OD为弦心距，
∴AD=DC．（3分）
（2）∵D为AC的中点，O₁为AO的中点，
∴O₁D∥OC．
又DE⊥OC，
∴DE⊥O₁D
∴DE与⊙O₁相切．（6分）
（3）如果OE=EC，又D为AC的中点，
∴DE∥O₁O，又O₁D∥OE，
∴四边形O₁OED为平行四边形．
又∠DEO=90°，O₁O=O₁D，
∴四边形O₁OED为正方形．（10分）