如图，AC是半圆O的直径，B是半圆上的一点，D是弧AB的中点，连接AB、CB、CD、AD，延长AD交CB的延长线于点E
如图，AC是半圆O的直径，B是半圆上的一点，D是弧AB的中点，连接AB、CB、CD、AD，延长AD交CB的延长线于点E．（1）求证：CA=CE；（2）若∠AOB=60°，...
如图，AC是半圆O的直径，B是半圆上的一点，D是弧AB的中点，连接AB、CB、CD、AD，延长AD交CB的延长线于点E．（1）求证：CA=CE；（2）若∠AOB=60°，AE2＝24(2?3)，求半圆O的面积．
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解答：（1）证明：∵AC是半圆O的直径，
∴∠ADC=90°．
∵D是弧AB的中点，
∴
=
，
∴∠ACD=∠BCD．
∵在△ACD与△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD（ASA），
∴CA=CE；
（2）解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB，∠OAB=60°．
∵在△CDE与△ABE中，
，
∴△CDE∽△ABE，
∴DE：BE=CE：AE，
∴DE?AE=BE?CE，
∵△ACD≌△ECD，
∴AD=DE=
AE，
∵CE=CA=2OA=2AB，
∴
AE?AE=BE?2AB，
∴AE2=4BE?AB．
设AB=x，BE=y，则4xy=AE2=24（2-
），
即2xy=12（2-
） ①．
在△ABE中，∵∠ABE=90°，
∴AB2+BE2=AE2，
∴x2+y2=24（2-
） ②，
①+②，得x2+y2+2xy=36（2-
），
∵x＞0，y＞0，
∴x+y=3
-3
③，
②-①，得x2+y2-2xy=12（2-
），
∵x＞y，
∴x-y=3
-
④，
③与④联立，解得
，
∴OA=AB=
，
∴半圆O的面积
π×（
∴∠ADC=90°．
∵D是弧AB的中点，
∴
 |
| AD |
|
| BD |
∴∠ACD=∠BCD．
∵在△ACD与△ECD中，
|
∴△ACD≌△ECD（ASA），
∴CA=CE；
（2）解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB，∠OAB=60°．
∵在△CDE与△ABE中，
|
∴△CDE∽△ABE，
∴DE：BE=CE：AE，
∴DE?AE=BE?CE，
∵△ACD≌△ECD，
∴AD=DE=
| 1 |
| 2 |
∵CE=CA=2OA=2AB，
∴
| 1 |
| 2 |
∴AE2=4BE?AB．
设AB=x，BE=y，则4xy=AE2=24（2-
| 3 |
即2xy=12（2-
| 3 |
在△ABE中，∵∠ABE=90°，
∴AB2+BE2=AE2，
∴x2+y2=24（2-
| 3 |
①+②，得x2+y2+2xy=36（2-
| 3 |
∵x＞0，y＞0，
∴x+y=3
| 6 |
| 2 |
②-①，得x2+y2-2xy=12（2-
| 3 |
∵x＞y，
∴x-y=3
| 2 |
| 6 |
③与④联立，解得
|
∴OA=AB=
| 6 |
∴半圆O的面积
| 1 |
| 2 |
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