Question

数学分析证明题，求解

复旦陈纪修版数学分析课本里的例题。第一种可能里的r是怎么来的？看了半天没看明白，求好心人解答，谢谢了！

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Answer 1

只要证明在(n/m,sqrt(2))内还有函数值大于0，就可以证明(n/m)^2不在(1,2)内。这里采用插值的方式，用t表示2-x^2在n/m处的函数值，构造r为与t相关的表达式。
假设r=αtn/m，则(n/m+r)^2=(n/m)^2+2nr/m+r^2
=(n/m)^2+2αt(n/m)^2+α^2t^2(n/m)^2
注意到t(n/m)^2<2t,t^2(n/m)^2<2t（用到了(n/m)^2<2和t<1）
所以(n/m+r)^2<(2-t)+4αt+2α^2t
要想(n/m+r)^2<2，需要(2-t)+4αt+2α^2t<2，即2α^2+4α-1<0
解得-sqrt(6)/2-1<α<sqrt(6)/2-1，略去负值即0<α<sqrt(6)/2-1
sqrt(6)/2-1≈0.2247，因此取α=1/6可以完成证明

追问

不好意思，请问怎么想到的要用n/m和t去构造r呢，谢谢

追答

类似于逼近的思想，既然需要在n/m与sqrt(2)之间寻找插值，就需要一个插值量。插值量r一定与函数值t相关：t越大，需要增加的r就越大，所以考虑构造r=kt.