Question

如图17，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米. 现以O点为原点，OM所在

直线为x轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，
使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，
则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

Answer 1

（1）顶点P的坐标为（6,6），点M的坐标为（12,0）。
（2）设抛物线的解析式为：y=a(x-h)^2+k
因为顶点坐标（6，6）
所以 y=a(x-6)^2+6
又因为抛物线经过点M（12,0）
所以 0=a(12-6)^2+6
所以 a=-1/6
所以 y=-1/6(x-6)^2+6
即 y=-1/6x^2+2x.
(3) 设CD=m，则CE=DE=1/2m，支撑架的总长为L
因为C、D两点关于对称轴x=6对称
所以A(6+1/2m,0)，B(6-1/2m)
所以 D点的横坐标为 6+1/2m，C点横坐标为 6-1/2m
因为C、D两点在抛物线上，C点横坐标代入，得：
所以 y=-1/6x(x-12)
=-1/6(6-1/2m) (6-1/2m-12)
=-1/6(6-1/2m) (-6-1/2m)
=1/6(6-1/2m) (6+1/2m)
=6-1/24m^2
所以 AD=CB=6-1/24m^2
所以 L=AD+DC+CB
=m+2(6-1/24m^2)
=-1/12m^2+m+12
=-1/12(m-6)^2+15
因为二次项系数为-1/12<0
所以L有最大值
L的最大值为15.