Question

如图①，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长是方程x2-14x+48=0的两根（OA＞OB），直线BC平分

如图①，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长是方程x2-14x+48=0的两根（OA＞OB），直线BC平分∠ABO，交x轴于点C．P是射线BC上一动点．（1）设△PAB与△OPB的面积分别为S1、S2，求S1：S2的值；（2）求直线BC的解析式；（3）过O点作OE⊥BC，交AB于点E，（如图②）．若S△AOP=S△AEP，求P点坐标．

Answer 1

（1）如图①，过P点作PD⊥BO，PH⊥AB，垂足分别为D、H，
∵BC为∠ABO的平分线，
∴PH=PD，
∴S₁：S₂=AB：OB，
又∵OA、OB的长是方程x²-14x+48=0的两根（OA＞OB），
解方程得：x₁=8，x₂=6，
∴OA=8，OB=6，
∴AB=10，
∴S₁：S₂=AB：OB=5：3；

（2）过C点作CK⊥AB，垂足为K，
∴OC=CK，
∴S_△AOB=

1

2

OC（OB+AB）=8OC=24，
∴OC=3，
∴C（3，0），
∴y=-2x+6；

（3）①当O、P、E三点共线时，（P在OE与BC交点时）有S_△AOP=S_△AEP，
过E点作EG⊥OA，垂足为G，
∵OE⊥BC，BC平分∠ABO，
∴P是OE的中点，
∴PF是△OEG的中位线，
∵△AGE∽△AOB，
∴

EG

BO

＝

EA

AB

＝

2

5

，
∴EG=

12

5

，y_P=

6

5

，
把y_P=

6

5

，代入y=-2x+6中，求得x_P=

12

5

，
∴P₁（

12

5

，

6

5

）；
②当PA∥OE时，有S_△AOP=S_△AEP，
∴P₂（4，-2）．
或用代数方法：设E点坐标为（x，y），根据勾股定理求出y＝

12

5

，yp＝

6

5

，
再将yp＝|

6

5

|代入y=-2x+6，同样求出P₁（

12

5

，

6

5

）、P₂（4，-2）．