Question

（2011?丰台区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，点D1是斜边AB的中点，过点D1作D1E1⊥AC于点E1，连接BE1交C

（2011?丰台区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，点D1是斜边AB的中点，过点D1作D1E1⊥AC于点E1，连接BE1交CD1于点D2；过点D2作D2E2⊥AC于点E2，连接BE2交CD1于点D3；过点D3作D3E3⊥AC于点E3，如此继续，可以依次得到点D4、D5、…、Dn，分别记△BD1E1、△BD2E2、△BD3E3、…、△BDnEn的面积为S1、S2、S3、…Sn．设△ABC的面积是1，则S1=______，Sn=______（用含n的代数式表示）．

Answer 1

易知D₁E₁∥BC，∴△BD₁E₁与△CD₁E₁同底同高，面积相等，以此类推；
∴S₁=S_△D1E1A=

1

4

S_△ABC，
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D₁E₁=

1

2

BC，CE₁=

1

2

AC，S₁=

1

22

S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂为其重心，
又D₁E₁为三角形的中位线，∴D₁E₁∥BC，
∴△D₂D₁E₁∽△CD₂B，且相似比为1：2，
即

E1D2

BD2

=

1

2

，
∴D₂E₁=

1

3

BE₁，
∴D₂E₂=

1

3

BC，CE₂=

1

3

AC，S₂=

1

32

S_△ABC，
∴D₃E₃=

1

4

BC，CE₃=

1

4

AC，S₃=

1

42

S_△ABC…；
∴S_n=

1

(n+1)2

S_△ABC．
故答案为：

1

4

，

1

(n+1) 2

．