Question

已知二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数y=f(x?12)是偶函数．（1）求f（x）的解析式；

已知二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数y=f(x?12)是偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）-x2-13]?|x|，求函数g（x）在[t，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

解 （1）因为函数y＝f(x?

1

2

)是偶函数，所以二次函数f（x）=x²+bx+c的对称轴方程为x＝?

1

2

，故b=1．
又因为二次函数f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），所以1+b+c=13，故c=11．
因此，f（x）的解析式为f（x）=x²+x+11．
（2）g（x）=（x-2）|x|，
当x≤0时，g（x）=-（x-1）²+1，当x＞0时，g（x）=（x-1）²-1，作出g（x）的图象，如下图所示：
由图象知，g（x）在[t，2]上的最大值g_max（x）=0，
当1≤t＜2时，g_min（x）=t²-2t；当1-

2

≤t＜1时，g_min（x）=-1；当t＜1-

2

时，g_min（x）=-t²+2t；
故g（x）在[t，2]上的最大值为0；最小值g_min（x）=

t2?2t，1≤t＜2 ?1，1? 2 ≤t＜1 ?t2+2t，t＜1? 2

．