Question

已知二次函数y=f<x>=x^2+bx+c的图像过点（1，13）

图像关于直线x=-1/2 对称
1>求f<x>的解析式
2> 已知t<2,g<x>=[f<x>-x^2-13]|x|
①若函数y=g<x>-m的零点有三个，求实数m的取值范围
②求函数g<x>在[t,2]上的最小值

Answer 1

1
f(1)=b+c+1=13
-b/2=-1/2
b=1,c=11
f(x)=x^2+x+11
2
①g(x)=(x-2)|x|
分段
x≥0时，
g(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1
[0,1]递减，g(x)∈[-1,0]
[1,+∞)递增，g(x)∈[-1,+∞)
x<0时，
g(x)=-x^2+2x=-(x-1)^2+1
（-∞，0）递增，g(x)∈（-∞，0）
g(x)-m有3个零点，即g(x)图像与直线y=m有3个交点
则 -1<m<0

②

当1≤t<2时，g(x)在[t,2]上递增
g(x)min=g(t)=t^2-2t
由-x^2+2x=-1 即x^2-2x-1=0 (x<0)
解得 x=1-√2
当 1-√2≤t<1时，
g(x)在[1-√2,0]上递增，在[0,1]上递减，在[1,2]上递增
g(1-√2)=g(1)=-1
∴g(x)min=-1
当t<1-√2时，g(t)<g(1-√2)=-1