Question

小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的

小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的80%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）

Answer 1

（1）由题意，得：w=（x-20）?y=（x-20）?（-10x+500）=-10x²+700x-10000，
即w=-10x²+700x-10000（20≤x≤36）；
（2）对于函数w=-10x²+700x-10000=-10（x-35）²+2250
∴当x=35时，W=2250
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元．
（3）取W=2000得，-10x²+700x-10000=2000
解这个方程得：x₁=30，x₂=40．
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵20≤x≤36
∴当30≤x≤36时，w≥2000．
设每月的成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500）=-200x+10000
∴当x=36时，P的值最小，P_最小值=2800．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为2800元．