在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ADC,AB⊥BC,AD=CD,∠CAD=30°.若二面角C-AB-D为60°,求直线AC与平面A

在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ADC,AB⊥BC,AD=CD,∠CAD=30°.若二面角C-AB-D为60°,求直线AC与平面ABD所成的角的正弦值.... 在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ADC,AB⊥BC,AD=CD,∠CAD=30°.若二面角C-AB-D为60°,求直线AC与平面ABD所成的角的正弦值. 展开
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艹蛋的生活YAD
2015-02-03 · 超过49用户采纳过TA的回答
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解答:解:设AD=a,F为AC的中点,
∵AD=CD,∴DF⊥AC.
∵平面ABC⊥平面ACD,∴DF⊥平面ABC,
∵∠CAD=30°,∴DF=
a
2
,AF=
3
2
a

取AB中点E,连接EF,ED,
∵AB⊥BC,∴EF⊥AB,
∴由三垂线定理,知DE⊥AB,
∴∠DEF是二面角C-AB-D的平面角,
∵二面角C-AB-D为60,∴∠DEF=60°,
∴EF=DF?cot60°=
a
2
?
3
3
=
3
6
a

∴DE=
(
a
2
)2+(
3
6
a)2
=
3
3
a

∵DE⊥AB,FE⊥AB,DE∩FE=E,
∴AB⊥平面DEF.
过F作FH⊥DE,交DE于H,则FH⊥AB,
∵DE∩AB=E,∴FH⊥平面ABD,
连接AH,则∠FAH就是直线AC与平面ABD所成的角的平面角,
1
2
DE?HF=
1
2
DF?EF
,∴HF=
EF?DF
DE
=
3
6
a?
a
2
3
3
a
=
a
4

∴sin∠FAH=
FH
AF
=
a
4
3
2
a
=
3
6

故直线AC与平面ABD所成的角的正弦值为
3
6
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