在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ADC,AB⊥BC,AD=CD,∠CAD=30°.若二面角C-AB-D为60°,求直线AC与平面A
在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ADC,AB⊥BC,AD=CD,∠CAD=30°.若二面角C-AB-D为60°,求直线AC与平面ABD所成的角的正弦值....
在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ADC,AB⊥BC,AD=CD,∠CAD=30°.若二面角C-AB-D为60°,求直线AC与平面ABD所成的角的正弦值.
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解答:解:设AD=a,F为AC的中点,
∵AD=CD,∴DF⊥AC.
∵平面ABC⊥平面ACD,∴DF⊥平面ABC,
∵∠CAD=30°,∴DF=
,AF=
a,
取AB中点E,连接EF,ED,
∵AB⊥BC,∴EF⊥AB,
∴由三垂线定理,知DE⊥AB,
∴∠DEF是二面角C-AB-D的平面角,
∵二面角C-AB-D为60,∴∠DEF=60°,
∴EF=DF?cot60°=
?
=
a,
∴DE=
=
a,
∵DE⊥AB,FE⊥AB,DE∩FE=E,
∴AB⊥平面DEF.
过F作FH⊥DE,交DE于H,则FH⊥AB,
∵DE∩AB=E,∴FH⊥平面ABD,
连接AH,则∠FAH就是直线AC与平面ABD所成的角的平面角,
∵
DE?HF=
DF?EF,∴HF=
=
=
,
∴sin∠FAH=
=
=
.
故直线AC与平面ABD所成的角的正弦值为
.
∵AD=CD,∴DF⊥AC.
∵平面ABC⊥平面ACD,∴DF⊥平面ABC,
∵∠CAD=30°,∴DF=
a |
2 |
| ||
2 |
取AB中点E,连接EF,ED,
∵AB⊥BC,∴EF⊥AB,
∴由三垂线定理,知DE⊥AB,
∴∠DEF是二面角C-AB-D的平面角,
∵二面角C-AB-D为60,∴∠DEF=60°,
∴EF=DF?cot60°=
a |
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∴DE=
(
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3 |
∵DE⊥AB,FE⊥AB,DE∩FE=E,
∴AB⊥平面DEF.
过F作FH⊥DE,交DE于H,则FH⊥AB,
∵DE∩AB=E,∴FH⊥平面ABD,
连接AH,则∠FAH就是直线AC与平面ABD所成的角的平面角,
∵
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EF?DF |
DE |
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a |
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∴sin∠FAH=
FH |
AF |
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6 |
故直线AC与平面ABD所成的角的正弦值为
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