已知函数f(x)=kx2+(3+k)x+3,其中k为常数,(k∈R)(1)若函数...
已知函数f(x)=kx2+(3+k)x+3,其中k为常数,(k∈R)(1)若函数f(x)满足f(2)=3,①求函数f(x)在[-1,4]上的最大值和最小值;②若f(x)<...
已知函数f(x)=kx2+(3+k)x+3,其中k为常数,(k∈R) (1)若函数f(x)满足f(2)=3, ①求函数f(x)在[-1,4]上的最大值和最小值; ②若f(x)<mx+7对任意x∈R上恒成立,求实数m的取值范围; (2)当k≥0时,讨论函数f(x)在区间[-1,4]上的单调性.
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解:(1)由f(2)=4k+(3+k)×2+3=3,解得k=-1,∴f(x)=-x2+2x+3(2分)
①f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4(3分)(如果求对称轴也给1分)
∵x∈[-1,4]
所以当x=1时,f(x)取得最大值为f(1)=4(4分)
当x=4时,f(x)取得最小值为f(4)=-5(5分)
②由f(x)<mx+7对任意x∈R上恒成立,
即x2+(m+2)x+4>0对任意x∈R上恒成立,(6分)
所以△=(m+2)2-16<0,解得-2<m<6(8分)
(2)当k=0时,f(x)=3x+3,此时f(x)在[-1,4]上是增函数 (9分)
当k>0时,f(x)图象是开口向上,对称轴方程为x=-3+k2k的抛物线,
显然-3+k2k<0(10分)
①当-3+k2k≤-1时,即0<k≤3时,函数f(x)在[-1,4]上是增函数 (11分)
②当-3+k2k>-1时,即k>3时,函数f(x)在[-1,-3+k2k]上是减函数,在(-3+k2k,4]上是增函数 (13分)
综上,当k≥0时,函数f(x)在[-1,4]上是增函数;当k>3时,函数f(x)在[-1,-3+k2k]上是减函数,在(-3+k2k,4]上是增函数 (14分)
①f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4(3分)(如果求对称轴也给1分)
∵x∈[-1,4]
所以当x=1时,f(x)取得最大值为f(1)=4(4分)
当x=4时,f(x)取得最小值为f(4)=-5(5分)
②由f(x)<mx+7对任意x∈R上恒成立,
即x2+(m+2)x+4>0对任意x∈R上恒成立,(6分)
所以△=(m+2)2-16<0,解得-2<m<6(8分)
(2)当k=0时,f(x)=3x+3,此时f(x)在[-1,4]上是增函数 (9分)
当k>0时,f(x)图象是开口向上,对称轴方程为x=-3+k2k的抛物线,
显然-3+k2k<0(10分)
①当-3+k2k≤-1时,即0<k≤3时,函数f(x)在[-1,4]上是增函数 (11分)
②当-3+k2k>-1时,即k>3时,函数f(x)在[-1,-3+k2k]上是减函数,在(-3+k2k,4]上是增函数 (13分)
综上,当k≥0时,函数f(x)在[-1,4]上是增函数;当k>3时,函数f(x)在[-1,-3+k2k]上是减函数,在(-3+k2k,4]上是增函数 (14分)
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