Question

已知函数f（x）=kx 2 +（3+k）x+3，其中k为常数，且k≠0．？

Answer 1

（1）由f（2）=3，可得4k+2（3+k）+3=3，∴k=-1
∴f（x）=-x 2 +2x+3；
（2）由（1）得g（x）=f（x）-mx=-x 2 +（2-m）x+3，函数的对称轴为x=
2-m
2
∵g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，
∴
2-m
2 ≤-2 或
2-m
2 ≥2
∴m≤-2或m≥6；
（3）f（x）=kx 2 +（3+k）x+3的对称轴为 x=-
3+k
2k
①k＞0时，函数图象开口向上， x=-
3+k
2k ＜0 ，此时函数f（x）在[-1，4]上的最大值是f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，∴ k=-
11
20 ＜0 ，不合题意，舍去；
②k＜0时，函数图象开口向下， x=-
3+k
2k =-
1
2 -
3
2k ＞-
1
2 ，
1°若 -
1
2 ＜-
3+k
2k ≤4 ，即 k≤-
1
3 时，函数f（x）在[-1，4]上的最大值是f（ -
3+k
2k ）=
12k-(k+3 ) 2
4k =4
∴k 2 +10k+9=0，∴k=-1或k=-9，符合题意；
2°若 -
3+k
2k ＞4 ，即 -
1
3 ＜k＜0 时，函数f（x）在[-1，4]上递增，最大值为f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，
∴ k=-
11
20 ＜-
1
3 ，不合题意，舍去；
综上，存在k使得函数f（x）在[-1，4]上的最大值是4，且k=-1或k=-9．,2, 已知函数f（x）=kx 2 +（3+k）x+3，其中k为常数，且k≠0．
（1）若f（2）=3，求函数f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，设函数g（x）=f（x）-mx，若g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）是否存在k使得函数f（x）在[-1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．