Question

如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于点P，且PC=BC． （1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）

如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于点P，且PC=BC． （1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠A= ，BC=8，求⊙O的半径．

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Answer 1

（1）证明见解析；（2）⊙O的半径是6．

试题分析：（1）根据等腰三角形的性质求得∠OBP+∠CBP=90°，则BC是⊙O的切线； （2）根据锐角三角函数定义，可设OP=x，则OA=3x．在Rt△OBC中，由勾股定理列出关于x的方程（x+8） 2 =（3x） 2 +8 2 ，通过解该方程可以求得x=2，则OA=3x=6． 试题解析：（1）相切．理由如下： ∵OA=OB， ∴∠A=∠OBA． ∵CP=BP， ∴∠CBP=∠BPC． ∵∠OPA=∠BPC，∠A+∠OPA=90°， ∴∠OBP+∠CBP=90°， ∴BC是⊙O的切线； （2）∵tanA= ， ∴设OP=x，则OA=3x． 在Rt△OBC中，（x+8） 2 =（3x） 2 +8 2 ， 解得 x=2，则OA=6， ∴⊙O的半径是6．