Question

如图，在等边△ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线

如图，在等边△ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F．（1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图①，求证：CF+BE=CD；（提示：过点F作FM∥BC交射线AB于点M．）（2）当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图②；当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角时，如图③，请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系，不需要证明；（3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S△ABC=43，则BE=______，CD=______．

Answer 1

（1）证明：如图①，过点F作FM∥BC交射线AB于点M，

∵CF∥AB，
∴四边形BMFC是平行四边形，
∴BC=MF，CF=BM，
∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC，
∴∠EMF=∠ACB，AC=MF，
∵∠ADN=60°，
∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°，
∴∠BDE=∠DAC，
∴∠MFE=∠DAC，
在△MEF与△CDA中，

∠MFE＝∠DAC ∠EMF＝∠ACB MF＝BC

，
∴△MEF≌△CDA（AAS），
∴CD=ME=EB+BM，
∴CD=BE+CF．

（2）如图②，CF+CD=BE，如图③，CF-CD=BE；

（3）∵△ABC是等边三角形，S_△ABC=4

3

，
∴易得AB=BC=AC=4，
如图②，
∵∠ADC=30°，∠ACB=60°，
∴CD=AC=4，
∵∠ADN=60°，
∴∠CDF=30°，
又∵CF∥AB，
∴∠BCF=∠ABC=60°，
∴∠CFD=∠CDF=30°，
∴CD=CF，
由（2）知BE=CF+CD，
∴BE=4+4=8．

如图③，
∵∠ADC=30°，∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠ADC=30°，
∴BD=BA=4，
∴CD=BD+BC=4+4=8，
∵∠ADN=60°，∠ADC=30°，
∴∠BDE=90°，
又∵∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=30°，
在Rt△BDE中，∠DEB=30°，BD=4，
∴BE=2BD=8，
综上，BE=8，CD=4或8．