Question

如图所示，一个34圆弧形光滑细圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A点与水平地面AD相接，地

如图所示，一个34圆弧形光滑细圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高，AP=2R．将一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力．（1）若小球通过C点后恰好能打在A 点，求小球经过C点时的速度．（2）若小球通过C点后落到水平地面的AP之间，求小球离A点的高度范围．

Answer 1

（1）小球离开C点做平抛运动，设经过C点时的速度v_C，根据运动学公式可得：
竖直方向：R＝

1

2

gt2    ①
水平方向：R=v_Ct       ②
联立①②解得vC＝

gR 2

③
（2）设小球通过C点后能落到A点，离A点的高度为H₁，根据机械能守恒定律有：
mg H₁=mgR+

1

2

mvC2④
联立③④解得H₁=1.25R
设小球通过C点后能落到P点，离A点的高度为H₂，设经过C点时的速度v_C′
根据机械能守恒定律有：mgH₂=mgR+

1

2

mv′C2⑤
又由运动学公式有：3R=v_C′t  ⑥
联立①⑤⑥解得：H₂=3.25R 
故小球离A点的高度范围：1.25R≤H≤3.25R
答：（1）若小球通过C点后恰好能打在A 点，小球经过C点时的速为

gR 2

．
（2）若小球通过C点后落到水平地面的AP之间，小球离A点的高度范围为1.25R≤H≤3.25R．