Question

如图，函数y=kx（x＞0，k＞0）的图象经过A（1，4），B（m，n），其中m＞1，过点A作x轴的垂线，垂足为C，

如图，函数y=kx（x＞0，k＞0）的图象经过A（1，4），B（m，n），其中m＞1，过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB，AC与BD相交于点E．（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；（2）四边形ABCD能否成为平行四边形？若能，求点B的坐标，若不能说明理由；（3）当AC=BD时，求证：四边形ABCD是等腰梯形．

Answer 1

（1）将A（1，4）代入反比例解析式得：4=

k

1

，即k=4，
∴反比例解析式为y=

4

x

，将B（m，n）代入得：mn=4，
∴BD=m，AE=AC-EC=4-n，
∵S_△ABD=

1

2

AE?BD=

1

2

m（4-n）=4，
∴2m-

1

2

mn=2m-2=4，解得：m=3，
∴n=

4

3

，
则B（3，

4

3

）；
（2）四边形ABCD能成为平行四边形．理由仔陪键为：
若四边形ABCD为平行四边形，则AC、BD互相平分，即E为AC、BD的中点，
∵A（1，4），
∴E（1，2），B（2，2），
将x=2代入反比例解析式得：y=

4

2

=2，即B在反比例解析式y=

4

x

上念巧，
则四边形ABCD能成为平行四边形；
（3）证明：∵AC=BD，A（1，4），B（m，n）
∴m=4，又B（m，n）在反比例函数y=

4

x

上，
∴B（4，1），
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴E（1，1），即DE=CE=1，
∵AC=BD，
∴AC-EC=BD-DE，即AE=EB=3，
在△DEC和△BAE中，∠CED=∠AEB，

DE

EB

=

EC

AE

=

1

3

，
∴△DEC∽△BAE，
∴∠CDE=∠ABE，
∴CD∥AB，
在Rt△ADE和Rt△BCE中，由AE=BE=3，DE=CE=1，
根据勾股乱灶定理得：AD=BC=

10

，
又AD与BC不平行，
则四边形ABCD为等腰梯形．