Question

已知函数f（x)=2（根号3）sinxcosx+2cos(^2)x-t

若方程f(x)=0，在x∈[0,π/2]上有解，求t的取值范围
在△ABC中，a,b,c分别是其对边，若t=3，且f(A)=-1,b+c=2求a的最小值

Answer 1

(1) f(x)=2√3sinxcosx+2cos^2-t.
=√3sin2x+1+cos2x-t.
=2[(√3/2sin2x+(1/2)cos2x]+1-t.
=2sin(2x+π/6)+1-t.
令 f(x)=0, 则,2sin(2x+π/6)+1-t=0.
由x∈[0，π/2]，得π/6≤2x+π/6≤7π/6，所以，-1/2≤sin(2x+π/6)≤1，
故0≤2sin(2x+π/6)+1≤3
∵t∈[0,3].
(2) f(x)=2sin(2x+π/6)+1-t.
若t=3,f(A)=-1,
f(A)=2sin(2A+π/6)+1-3=-1.
2sin2A+π/6=1.
sin(2A+π6)=1/2.
2A+π/6=π/6, --->A=0 不合题设要求,舍去.
或2A+π/6=5π/6.
2A=5/6-π/6=2π/3.
∴ A=π/3.
∵b+c=2.
由三角形的边的关系: 两边之和大于第三边,即 b+c>a, ∴a<2.
a²=b²+c²-2bccosA=(b+c)²-2bc-bc=4-3bc
b+c≥2√bc
bc≤1
a²=4-3bc≥1
a≥1
a的最小值为1

Answer 2

f(x)=2√3sinxcosx+2cos²x-t=√3sin2x+1+cos2x-t=2sin(2x+π/6)+1-t，
由x∈[0，π/2]，得π/6≤2x+π/6≤7π/6，所以，-1/2≤sin(2x+π/6)≤1，
故0≤2sin(2x+π/6)+1≤3，
所以，若方程f(x)=0在x∈[0,π/2]上有解，则t的取值范围[0，3]。

若t=3，则f(A)=2sin(2A+π/6)-2=-1，得sin(2A+π/6)=1/2，
因为π/6<2A+π/6<2π+π/6，所以2A+π/6=5π/6，即A=π/3，又b+c=2，

由余弦定理得
a²=b²+c²-2bccosA=(b+c)²-3bc≥(b+c)²-3[(b+c)/2]²=(b+c)²/4=1，
当且仅当a=b=1时取等号，所以a的最小值为1。

Answer 3

答：
f(x)=2√3sinxcosx+2cos²x-t
=√3sin2x+cos2x+1-t
=2 [ (√3/2)sin2x+(1/2)cos2x ] +1-t
=2sin(2x+π/6)+1-t

（1）0<=x<=π/2，0<=2x<=π，π/6<=2x+π/6<=7π/6
-1/2<=sin(2x+π/6)<=1
-1+1-t<=f(x)<=1*2+1-t，-t<=f(x)<=3-t
f(x)=0有解，则：-t<=0，3-t>=0
解得：0<=t<=3

（2）t=3，f(x)=2sin(2x+π/6)+1-t=2sin(2x+π/6)-2
f(A)=2sin(2A+π/6)-2=-1
sin(2A+π/6)=1/2
所以：2A+π/6=5π/6
所以：A=π/3
b+c=2，b²+c²+2bc=4>=2bc+2bc=4bc，bc<=1
根据余弦定理：
a²=b²+c²-2bccosA=4-2bc-2bccosπ/3=4-3bc>=4-3*1=1
所以：a的最小值为a=1，此时b=c=1
即：三角形ABC为正三角形时，a的最小值为1

Answer 4

解：
1、f(x)=2√3sinxcosx+2cos^2x-t
=√3sin2x+cos2x+1-t
=2sin(2x+pi/6)+1-t
令f(x)=0,即 2sin(2x+pi/6)=t-1
注意到x=0时2x+pi/6=pi/6
x=pi/2时2x+pi/6=7pi/6
所以该区间的取值为 [-1,2]
所以t-1属于 [-1,2]，t属于 [0,3]

2、t=3代入，2sin(2A+pi/6)-2=-1
sin(2A+pi/6)=1/2
A=pi/3
根据余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bccosA
=b^2+c^2-bc
=(b+c)^2-3bc=4-3bc
根据基本不等式：b+c>=2√bc
所以，bc<=1
所以a^2>=1,a最小为1

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