Question

如图所示,在菱形ABCD中,AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形.

Answer 1

解答：
1、连接AC，‍
∵∠BAD=120°，∴∠B=60°
∴△ABC的等边△﹙有一个角是60°的等腰△是等边△﹚
∴∠ACB=60°=∠ACF，AB=AC，
又∵∠EAF=60°=∠BAC，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△ABE≌△ACF﹙ASA﹚
∴BE=CF；
2、⑴由1、结论：△ABE面积=△ACF面积
四边形AECF面积=△AEC面积＋△ACF面积
=△AEC面积＋△ABE面积
=△ABC面积
=½菱形ABCD面积=是一个定值。
⑵设BE=x，则EC=4－x，CF=x，
过F点作EC的延长线的垂线，垂足为G点，
则∠FCG=60°，∠CFG=30°，∴CG=½x，
∴由勾股定理得：FG=﹙√3／2﹚x，
∴△CEF面积=½CE×FG
=½×﹙4－x﹚×﹙√3／2﹚x
=﹙√3／4﹚[－x²＋4x－4＋4]
=﹙√3／4﹚[－﹙x－2﹚²]＋√3
∴△CEF的最大值=√3

‍

Answer 2

1、连接AC
∵ABCD是菱形，∠BAD=120°
∴∠ABC=∠ACD=∠ACB=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AB=AC
∵△AEF是正三角形
∴AE=AF
∠EAF=∠BAC=60°
∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF
即∠BAE=∠CAF
∴△ABE≌△ACF(SAS)
∴BE=CF
2、∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC=4
△ABD的高=2√3（高=4（sin60°）=2√3）
同样△ACD也是等边三角形
AC=AD=CD=4
△ACD的高=2√3
∵BE=CF
∴EC+CF=BC=4
∴S四边形AECF
=S△AEC+S△AFC
=1/2EC×2√3+1/2CF×2√3
=√3(EC+CF)
=4√3

Answer 3

解：
（1）联结AC。
∵ABCD为菱形
∴AB=BC=CD=AD
又∵∠BAC=120°
∴∠B=∠D=60°
∴△ABC和△ACD均为等边三角形
∴AC=AB。
∵∠EAC+∠CAF=∠EAC+∠BAE=60°
∴∠BAE=∠CAF
又∵AB=AC，AE=AF
∴△BAE≌△CAF
∴BE=CF

（2）四边形AECF面积可分割成△AEC和△ACF两部分。
由于△BAE≌△CAF，那么四边形AECF面积即为△ABC面积。
∴S四边形AECF=S△ABC=4√3
设CF=BE=x(0＜x＜4)，则EC=DF=4-x过F做FG⊥EC交EC延长线于G。
则FG=sin∠FCG×CF=(√3/2)x
∴S△CEF=1/2×EC×FG=(√3/4)×(4-x)x
=(√3/4)×(-x²+4x）
=-(√3/4)×(x²-4x)
=-(√3/4)×[(x-2)²-4]
故当x=2，即CF=BE=2时，S△CEF获得最大值
maxS△CEF=-(√3/4)×(-4)=√3

Answer 4

（1）、连接AC，则：
AB=AC、AE=AF，∠BAE=∠CAF=60°-∠CAE，
——》△BAE≌△CAF，
——》BE=CF；
（2）、设BE=x，x∈（0，4），
则：AE=v[(x-2)^2+(2v3)^2]=v(x^2-4x+16)，
CE=BC-BE=4-x,CF=BE=x,
S△AEF=AE*EF*sin60°/2=(x^2-4x+16)*v3/4，
S△CEF=CE*CF*sin120°/2
=(4x-x^2)*v3/4
=[4-(2-x)^2]*v3/4
<=4*v3/4
=v3，
即，S△CEF是变化的，其最大值为v3，
S四边形AECF=S△AEF+S△CEF=16*v3/4=4v3，为定值。

Answer 5

1:连接AC,证明三角形ABE 全等三角形ACF 边角边
AB=AC,角BAE=角CAF(算角)，AE=AF
2.4变形面积看做 总菱形面积减去2边三角形面积，
2个三角形分别 以 BE，FD做底边 ，BE+FD=4：那么高为固定的2根号3 ，而底边和始终为4，则2三角形面积和固定，则4边形 面积不变。我口述的，你公式列下