Question

如图，⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，AC与BD相交于点P．（1）判断△APB与△DPC是否相似？并说明理由；（2

如图，⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，AC与BD相交于点P．（1）判断△APB与△DPC是否相似？并说明理由；（2）设∠BPC=α，如果sinα是方程5x2-13x+6=0的根，求cosα的值；（3）在（2）的条件下，求弦CD的长？

Answer 1

（1）相似；
∵∠A=∠D，∠APB=∠DPC
∴△APB∽△DPC；

（2）连接BC．
∵AB在直径，
∴AC⊥BC，
∴∠PCB为直角，
∵5x²-13x+6=0，
∴（x-2）（5x-3）=0；
解得：x₁=2（不符合题意），x₂=

3

5

；
∴sinα=

3

5

，∴cosα=

4

5

；

（3）在（2）成立的条件下，得：cosα=

4

5

．
∵AB在直径，
∴AC⊥BC，
∴

PC

PB

=cosα=

4

5

，
又∵

CD

AB

=

PC

PB

，AB=10，
∴

CD

10

=

4

5

，
∴CD=8．