Question

高等数学（一），1/（1-x）幂级数如何展开？

1/（1-x）泰勒展开后形成拉格朗日余项。如何证明它在n趋向于正无穷的时候，拉格朗日余项等于零？如果不能证明拉格朗日余项等于零，那么还能说1/（1-x）的幂级数展开是1+x^2+x^3+……吗？

Answer 1

当 |x|<1 时, 中学里的无穷递缩等比数列所有项之和
1+x+x^2+x^3+......+x^n+... = 1/(1-x), 即 ∑<n=0,∞> x^n = 1/(1-x),
应该是早已解决的简单问题，一定要用复杂方法再去证明吗 ？

追问

是正过来证和反过来证的问题。。。可以用牛顿二项展开式证。也就是用另一种证明泰勒级数等于泰勒展开的方法。不过谢谢你。

Answer 2

只有在x在0的小范围内才能用Taylor展开，这时候拉格朗日余项趋向于0.
如果不能证明余项等于0就不能这样展了。

Answer 3

如图所示：