Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E、F分别是PC、PD的中点，求证：（Ⅰ）EF ∥ 平面PA

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E、F分别是PC、PD的中点，求证：（Ⅰ）EF ∥ 平面PAB；（Ⅱ）平面PAD⊥平面PDC．

Answer 1

证明：

（Ⅰ）∵E、F分别是PC、PD的中点，
∴EF ∥ CD．                    （2分）
∵底面ABCD是矩形，
∴CD ∥ AB．
∴EF ∥ AB．                  （4分）
又AB?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF ∥ 平面PAB．               （7分）
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD
∴PA⊥CD．                    （8分）
∵底面ABCD是矩形，AD⊥CD．                                                          （10分）
又PA∩AD=A，AP?面PAD，AD?面PAD，
∴DC⊥平面PAD．                                                   （12分）
∵DC?平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC．                                                   （14分）