如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,PD=DC=4,AD=2,E为PC的中点.(Ⅰ)求证:AD⊥PC

如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,PD=DC=4,AD=2,E为PC的中点.(Ⅰ)求证:AD⊥PC;(Ⅱ)求三棱锥A-PDE的体积;(Ⅲ... 如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,PD=DC=4,AD=2,E为PC的中点.(Ⅰ)求证:AD⊥PC;(Ⅱ)求三棱锥A-PDE的体积;(Ⅲ)AC边上是否存在一点M,使得PA ∥ 平面EDM,若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由. 展开
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Devil°839
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(Ⅰ)证明:因为PD⊥平面ABCD,
所以PD⊥AD.(2分)
又因为ABCD是矩形,
所以AD⊥CD.(3分)
因为PD∩CD=D,
所以AD⊥平面PCD.
又因为PC?平面PCD,
所以AD⊥PC.(5分)
(Ⅱ)因为AD⊥平面PCD,
所以AD是三棱锥A-PDE的高.
因为E为PC的中点,且PD=DC=4,
所以 S △PDE =
1
2
S △PDC =
1
2
×(
1
2
×4×4)=4
.(7分)
又AD=2,
所以 V A-PDE =
1
3
AD? S △PDE =
1
3
×2×4=
8
3
.(9分)
(Ⅲ)取AC中点M,连接EM,DM,
因为E为PC的中点,M是AC的中点,
所以EM PA.
又因为EM?平面EDM,PA?平面EDM,
所以PA 平面EDM.(12分)
所以 AM=
1
2
AC=
5

即在AC边上存在一点M,使得PA 平面EDM,AM的长为
5
.(14分)
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