Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴相交于A，B两点，OA，OB的长分别是方程x 2 ﹣14x+48=0的

如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴相交于A，B两点，OA，OB的长分别是方程x 2 ﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB． （1）求点A，B的坐标．（2）过点A作直线AC交y轴于点C，∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin∠1= ，点D在线段CA的延长线上，且AD=AB，若反比例函数 的图象经过点D，求k的值．（3）在（2）的条件下，点M在射线AD上，平面内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

（1）A（6，0），B（0，8）。 （2）k=84。 （3）存在。点N的坐标为（4，11）或（16，20）。

试题分析：（1）解一元二次方程，求得OA、OB的长度，得到点A、B的坐标。 解：解方程x 2 ﹣14x+48=0，得：x 1 =6，x 2 =8。 ∵OA，OB的长分别是方程x 2 ﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB，∴OA=6，OB=8。 ∴A（6，0），B（0，8）。 （2）如答图所示，作辅助线，构造全等三角形△AOB≌△DEA，求得点D的坐标；进而由题意，求出k的值。 如答图所示，过点D作DE⊥x轴于点E． 在Rt△AOB中，OA=6，OB=8， 由勾股定理得：AB=10。 ∴ 。 ∵sin∠1= ，∴∠OBA=∠1。 ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠1+∠ADE=90°， ∴∠OAB=∠ADE。 在△AOB与△DEA中，∵∠OBA=∠1，AB=AD，∠OAB=∠ADE， ∴△AOB≌△DEA（ASA）。∴AE=OB=8，DE=OA=6。∴OE=OA+AE=6+8=14。 ∴D（14，6）。 ∵反比例函数 的图象经过点D，∴k=14×6=84。 （3）如答图所示，可能存在两种情形： 如图所示，若以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形， ①当AB：AM 1 =2：1时， 过点M 1 作M 1 E⊥x轴于点E， 易证Rt△AEM 1 ∽Rt△BOA， ∴ ，即 ∴AE=4，M 1 E=3。 过点N 1 作N 1 F⊥y轴于点F，易证Rt△N 1 FB≌Rt△AEM 1 ， ∴N 1 F=AE=4，BF=M 1 E=3，∴OF=OB+BF=8+3=11。 ∴N 1 （4，11）。 ②当AB：AM 2 =1：2时，同理可求得：N 2 （16，20）。 综上所述，存在满足条件的点N，点N的坐标为（4，11）或（16，20）。