Question

（本题满分14分 第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，

（本题满分14分 第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15， cos∠A＝ ．点M在AB边上，AM＝2MB，点P是边AC上的一个动点，设PA＝x． （1）求底边BC的长；（2）若点O是BC的中点，联接MP、MO、OP，设四边形AMOP的面积是y，求y关于x的函数关系式，并出写出x的取值范围；（3）把△MPA沿着直线MP翻折后得到△MPN，是否可能使△MPN的一条边（折痕边PM除外）与AC垂直？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

（1）BC＝3 （2）y ＝ x＋ ． 0＜x≤15） （3）x＝2或5或14时满足△MPN的一条边与AC垂直

试题分析：解：（1）作BH⊥AC于点H（如图一）， ∵在Rt△ABH中，cos∠A＝ ，AB＝15， ∴AH＝12………………………………………………（1分） ∴BH＝9．………………………………………………（1分） ∵AC＝15 ∴CH＝3．………………………………………………（1分） ∵BC 2 ＝BH 2 ＋CH 2 ，∴BC 2 ＝9 2 ＋3 2 ＝90，∴BC＝3 ．…（1分） （2）作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F（如图一）， ∵点O是BC的中点，∴OE＝OF＝ BH＝ ． ∵AM＝2MB，AB＝AC＝15，∴AM＝10，BM＝5． ∵PA＝x，∴PC＝15－x， ∴y ＝ S △ ABC －S △ BOM －S △ COP ＝ BH·AC― OE·BM― OF·PC ＝ ×9×15－ － …………………（1+1分） ＝ x＋ ．…………………………………（1分） 定义域：（0＜x≤15）．…………………………… （1分） （3）①当PN⊥AC时（如图二），作MG⊥AC于点G， ∵在Rt△AMG中，cos∠A＝ ，AM＝10 ∴AG＝8，∴MG＝6． ①若点P 1 在AG上，由折叠知：∠AP 1 M＝135°，∴∠MP 1 G＝45°． ∵MG⊥AC，∴P 1 G＝MG＝6，………（1分）∴AP 1 ＝AG－P 1 G＝2．…………（1分） ②若点P 2 在CG上，由折叠知：∠AP 2 M＝45°． ∵MG⊥AC，∴P 2 G＝MG＝6，∴AP 2 ＝AG＋P 2 G＝14．…………（2分） ③当MN⊥AC时（如图三）， 由折叠知：∠AMP 3 ＝∠NMP 3 ，P 3 N 3 ＝AP 3 ＝x，MN 3 ＝MA＝10， ∴P 3 G＝8－x，GN 3 ＝4． ∵P 3 N 3 2 ＝P 3 G 2 ＋GN 3 2 ，∴x 2 ＝（8－x） 2 ＋4 2 ，∴x＝5．……（2分） 综上所述，x＝2或5或14时满足△MPN的一条边与AC垂直． 点评：本题的考查在于建立三角函数模型，主要考查函数的应用。解决此类问题通常有几个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果，其中关键是建立数学模型．