Question

高中数学：如图，对画红线部分，为什么等式的左边是加r×2^（n+1）而不是别的?

此题是用待定系数法解数列的通项公式，请详细说明，谢谢！

Answer 1

对于a(n+1)=3an+2^n

第一个想到的是把2^n拆分成两部分，分别用来和a(n+1)以及an做组合
所以，我们把2^n拆出3r*2^n，让它和3an组合（为什么3r*2^n带3，是为了方便提出一个3）
所以：3an+3r*2^n=3(an+r*2^n)
既然有了an+r*2^n，那么我们自然就要把a(n+1)搞成a(n+1)+r*2^(n+1)，
你只要把a(n+1)+r*2^(n+1)中的n+1都替换成n，就会变成an+r*2^n，就是要这个效果，只有这样，an+r*2^n和a(n+1)+r*2^(n+1)才会是同一个数列中的第n项和第n+1项
至于r*2^(n+1)，我们有r*2^(n+1)=2r*2^n，所以它也是题目给出的那个式子中2^n拆分出来的。
不知道我以上这么解释，是不是说明白了？

对于网友”世界不止一个“的答复：
(1)
对于a(n+1)=k*an+f(n)，其中k为常数
我们构造a(n+1)+r*f(n+1)=k*an+k*r*f(n)与之等价
那么：f(n)=kr*f(n)-r*f(n+1)
r=f(n)/[k*f(n)-f(n+1)] ------ 这个式子成立的前提是f(n+1)不等于k*f(n)
r=1/{k-[f(n+1)/f(n)]}
因为我们需要的r是常数，所以要求f(n+1)/f(n)=常数，也就是f(n)必须是等比数列
所以：这就是说本问题的解题方法，适用于f(n)是等比数列，且f(n+1)不等于k*f(n)的情况。
(2)
对于：已知a_1=-2，a_{n+1}=3a_n+2^n
则：a(n+1)+r*2^(n+1)=3an+3r*2^n
2^n=3r*2^n-r*2^(n+1)=r*2^n
r=1
a(n+1)+2^(n+1)=3(an+2^n)
所以：an+2^n=(a1+2)*3^(n-1)
而a1=-2，所以：an+2^n=(-2+2)*3^(n-1)=0，an=-2^n
(3)
对于：已知a_1=6，a_{n+1}=2a_n+4*2^n
f(n)=4*2^n，k=2
f(n+1)=4*2^(n+1)=k*f(n)
所以：不适合本题所说的解法
对于这题可以这么解(对于f(n)是等比数列，且f(n+1)等于k*f(n)的情况，都可以这么解)：
a_{n+1}=2a_n+4*2^n
两边同除以4*2^n得：
a(n+1)/(4*2^n)=2an/(4*2^n)+1
2a(n+1)/[4*2^(n+1)]=2an/(4*2^n)+1
所以：{2an/(4*2^n)}是公差为1的等差数列，首项为：2a1/(4*2)=3/2
所以：2an/(4*2^n)=(3/2)+(n-1)*1=n+(1/2)
所以：an=(2n+1)*2^n

Answer 2

因为这种形式的递推公式一定可以写成这样的形式。

追问

原因是什么?为什么一定可以写成这样的形式？

追答

你可以类比成：直线的截斜式、两点式、点斜式都可以写成一般式。

Answer 3