Question

重金悬赏!!!一道初三数学题~~~~~~~~~~~

点M、N是边长为4的正三角形ABC边AB、AC上的动点，且满足：将△AMN沿MN折叠使A点恰好落在BC边上D点处。
⑴△BDM与△CND相似吗？为什么？
⑵若BD∶CD=2∶3，试求AM∶AN的值
⑶若DN⊥BC，试求CN的值
⑷当D从B移动到C，点N运动的总路长为多少？

关键是第4小题，谁能帮我解解啊？大致写出过程。谢谢咯！
第3小题答案是不是16-8根号3啊?

可是(16-8根号3)是大于2的啊...那第4题答案怎么又是2了呢?

Answer 1

因为角MDN=角A=60
所以角CDN＝180-角BDM-60
又在三角形BDM中，角BMD＝180-角BDM-60
所以角CDN＝角BMD
同理，角BDM＝角CND
所以三角BMD与三角CDN相似

BD:CD=2:3,所以BD=1.6,CD=2.4
两个三角形相似，所以有
BM:2.4=1.6:CN=DM:DN
代入AM=MD,AN=ND,BM=4-AM,CN=4-AN得
(4-AM):2.4=1.6:(4-AN)=AM:AN
所以2.4AM=4AN-AN*AM
1.6AN=4AM-AMAN
相减得，2.4AM-1.6AN=4AN-4AM
6.4AM=5.6AN
AM:AN=(5.6):(6.4)=7:8

当DN⊥BC时，设NC=x,则ND=AN=4-NC=4-x
在直角三角形NDC中，sinC=sin60=ND/NC=(4-x)/x=根号3/2
解得，x=8(2-根号3)

太小看这个小问，再认真想一下，其实D点是可以越过AC中点的～
当ND⊥BC时，N点到达离C点最远处
由第三小问知，此时NC=8(2-根号3)
当D点继续向C点移动时，N往AC中点移
所以N点的路程是：2×8(2-根号3)-(1/2)×4=20-16根号3

Answer 2

前面3题看来阁下已经解决了，故不罗嗦。现在来看第四题。

由前面所求，我们可以得出以下关系：

BD：CN＝DM：ND＝AM：AN＝7：8，

现在设BD＝x，则CN＝8x/7

D由B移动到C，则x的范围是0～4
于是，CN的值域为0～32/7
即，N点移动总路长为32/7

希望能给你帮助～！

Answer 3

CMN周长为2，这等价于 CMN周长＝CD＋BC
=> DN+BM = MN
在MN上取一点G，使DN＝ NG，则MG＝ MB
则ANP平分 角GAD，AM平分GAB
设角GAN＝X（弧度） GAM＝y，
则X＋Y＝pi/4
则MN＝ tanX ＋ tanY .......(1)
tanY = tan(pi/4-x)......(2)
tanX+ tanY = 1.......(3)
令 tanX = m......(4) （换个元，求极值方便些）
则S-ANM = 1/2·[（m2+1)/(m+1)]
对关于m的函数求导，得m= 1/2时S最小， 即tanX= tanY= 1/2， X+Y= 角MAN= pi/4
即G为 MN 的中点

因为角MDN=角A=60
所以角CDN＝180-角BDM-60
又在三角形BDM中，角BMD＝180-角BDM-60
所以角CDN＝角BMD
同理，角BDM＝角CND
所以三角BMD与三角CDN相似

BD:CD=2:3,所以BD=1.6,CD=2.4
两个三角形相似，所以有
BM:2.4=1.6:CN=DM:DN
代入AM=MD,AN=ND,BM=4-AM,CN=4-AN得
(4-AM):2.4=1.6:(4-AN)=AM:AN
所以2.4AM=4AN-AN*AM
1.6AN=4AM-AMAN
相减得，2.4AM-1.6AN=4AN-4AM
6.4AM=5.6AN
AM:AN=(5.6):(6.4)=7:8

当DN⊥BC时，设NC=x,则ND=AN=4-NC=4-x
在直角三角形NDC中，sinC=sin60=ND/NC=(4-x)/x=根号3/2
解得，x=8(2-根号3)

这个问最简单了～
当D在B时，M在AB中点，N在C顶点
当D在C时，M在B点，N在AC中点
所以N点的路程是AC的一半，即路程为2

Answer 4

CMN周长为2，这等价于 CMN周长＝CD＋BC
=> DN+BM = MN
在MN上取一点G，使DN＝ NG，则MG＝ MB
则ANP平分 角GAD，AM平分GAB
设角GAN＝X（弧度） GAM＝y，
则X＋Y＝pi/4
则MN＝ tanX ＋ tanY .......(1)
tanY = tan(pi/4-x)......(2)
tanX+ tanY = 1.......(3)
令 tanX = m......(4) （换个元，求极值方便些）
则S-ANM = 1/2·[（m2+1)/(m+1)]
对关于m的函数求导，得m= 1/2时S最小， 即tanX= tanY= 1/2， X+Y= 角MAN= pi/4
即G为 MN 的中点

Answer 5

....
第4题很简单。。
当D在B点的时候
整个三角形要对折
NM是AB边上垂直平分线
当D在C点的时候
同样也是对折
MN是AC边上垂直平分线
N的运动路程就是AC的一半=2