Question

已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）， （1）若a=﹣2，求函数f（x）的单调递增区间；

已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数），
（1）若a=﹣2，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a＜﹣2时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+x 2 ，

解：

∴ ，

令f'（x）＞0，由x＞0得x＞1，

∴f（x）的单调递增区间是（1，+∞）．

（2） ，

令f'（x）=0，由a＜﹣2，x＞0得

，即﹣2e 2 ＜a＜﹣2时，f（x）在

①当

递减，在 递增，

时， ．

∴当

，即a≤﹣2e 2 时，f（x）在[1，e]递减，

②当

∴当x=e时，f（x） min =a+e2．

（3）f（x）≤（a+2）x化为：alnx+x 2 ﹣（a+2）x≤0，

设g（x）=alnx+x 2 ﹣（a+2）x，据题意，

当x∈[1，e]时，g（x） min ≤0，

，

（i）当 即a≤2时，当x∈[1，e]时，g'（x）≥0，∴g（x）递增，

∴g（x） min =g（1）=﹣1﹣a≤0，∴a≥﹣1，

∴﹣1≤a≤2；

递减， 递增，

即2＜a＜2e时，g（x）在

（ii）当

，

∴

，∴g（x）min＜0，

∵

∴2＜a＜2e符合题意；

即a≥2e时，g（x）在[1，e]递减，

（iii）当

∴g（x） min =g（e）=a+e 2 ﹣（a+2）e=（1﹣e）a+e 2 ﹣2e≤2e（1﹣e）+e 2 ﹣2e=﹣e2＜0，符合题意，

综上可得，a的取值范围是[﹣1，+∞）．