Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=2，OC=6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=2，OC=6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N．（1）填空：D点坐标是（ 　　 ， 　　 ），E点坐标是（ 　　 ， 　　 ）；（2）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，2），记△DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求出S随x增大而减小时所对应的自变量x的取值范围．





Answer 1

（1）（2，0），（2，2）。 （2）存在点M使△CMN为等腰三角形，M点的坐标为：（2，0），（2，4），（2， ﹣4）。 （3）S随x增大而减小时，0≤x≤2或4≤x≤6。

试题分析：（1）根据△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，得到∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，求出OD=2，得出D点的坐标，再根据DE=OD=2，求出E点的坐标： ∵将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处， ∴∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，∴OA=OD。 ∵OA=2，∴OD=2。∴D点坐标是（2，0），DE=OD=2。∴E点坐标是（2，2）。 （2）由翻折可知四边形AODE为正方形，过M作MH⊥BC于H，先求出∠NMH=∠MNH=45°，得出NH=MH=4，MN= ，再根据直线OE的解析式为：y=x，依题意得MN∥OE，设MN的解析式为y=x+b，根据DE的解析式为x=2，BC的解析式为x=6，得出M（2，2+b），N（6，6+b）， ，CN=6+b，MN= 。分CM=CN，CM=MN， CM=MN三种情况分别求出点M的坐标。 （3）根据题意先证出△PBN∽△DEP，得出BN的值，求出S与x之间的函数关系式，根据题意得： 当0≤x≤2时， ∵∠BPN+∠DPE=90°，∠BPN+∠EPD=90°，∴∠DPE=∠EPD。 ∴△PBN∽△DEP，∴ ，即 。∴ 。 ∴ 。 当2＜x≤6时， ∵△PBN∽△DEP，∴ ，即 。∴ 。 ∴ 。 ∴S与x之间的函数关系式： 。 根据①当0≤x≤2时，S=x 2 ﹣8x+12=（x﹣4） 2 ﹣4，②当2＜x≤6时，S=﹣x 2 +8x﹣12=﹣（x﹣4） 2 +4，即可得出答案。 解：（1）（2，0），（2，2）。 （2）存在点M使△CMN为等腰三角形，理由如下： 由翻折可知四边形AODE为正方形， 过M作MH⊥BC于H， ∵∠PDM=∠PMD=45°， ∴∠NMH=∠MNH=45°。NH=MH=4，MN= 。 ∵直线OE的解析式为：y=x，依题意得MN∥OE， ∴设MN的解析式为y=x+b， 而DE的解析式为x=2，BC的解析式为x=6，∴M（2，2+b），N（6，6+b）。 ∴ 。 分三种情况讨论： ①当CM=CN时，4 2 +（2+b） 2 =（6+b） 2 ，解得：b=﹣2， 此时M（2，0）。 ②当CM=MN时，4 2 +（2+b） 2 =（ ） 2 ，解得：b 1 =2，b 1 =﹣6（不合题意舍去）， 此时M（2，4）。 ③当CM=MN时，6+b= ，解得：b= ﹣6， 此时M（2， ﹣4）。 综上所述，存在点M使△CMN为等腰三角形，M点的坐标为： （2，0），（2，4），（2， ﹣4）。 （3）S与x之间的函数关系式为： 。 ①当0≤x≤2时，S=x 2 ﹣8x+12=（x﹣4） 2 ﹣4， 当x≤4时，S随x的增大而减小，即0≤x≤2； ②当2＜x≤6时，S=﹣x 2 +8x﹣12=﹣（x﹣4） 2 +4， 当x≥4时，S随x的增大而减小，即4≤x≤6。 综上所述：S随x增大而减小时，0≤x≤2或4≤x≤6。